Calculus, We Have A Problem

$v_{ t }\cfrac { d^{ 2 }v_{ t } }{ dx^{ 2 } } = v_{ t }\cfrac { d }{ dx } (\cfrac { dv_{ t } }{ dx } )$

$v_{ t }\cfrac { d^{ 2 }v_{ t } }{ dx^{ 2 } } = v_{ t }\cfrac { d }{ dx } (\cfrac { dv_{ t } }{ dt } \cfrac { dt }{ dx } )$

$v_{ t }\cfrac { d^{ 2 }v_{ t } }{ dx^{ 2 } } =v_{ t }(\cfrac { d }{ dx } (\cfrac { dv_{ t } }{ dt } )\cfrac { dt }{ dx } +\cfrac { dv_{ t } }{ dt } \cfrac { d }{ dx } (\cfrac { dt }{ dx } ))$

$v_{ t }\cfrac { d^{ 2 }v_{ t } }{ dx^{ 2 } } =v_{ t }(\cfrac { d }{ dt } (\cfrac { dv_{ t } }{ dt } )(\cfrac { dt }{ dx } )^{ 2 }+\cfrac { dv_{ t } }{ dt } \cfrac { d^{ 2 }t }{ dx^{ 2 } } )$

$v_{ t }\cfrac { d^{ 2 }v_{ t } }{ dx^{ 2 } } =v_{ t }(\cfrac { d^{ 2 }v_{ t } }{ dt^{ 2 } } (\cfrac { dt }{ dx } )^{ 2 }+\cfrac { dv_{ t } }{ dt }\cfrac { 1 }{ a_c } )$

$v_{ t }\cfrac { d^{ 2 }v_{ t } }{ dx^{ 2 } } =v_{ t }(\cfrac { d^{ 2 }v_{ t } }{ dt^{ 2 } } \cfrac { 1 }{ v^2_c }+\cfrac { dv_{ t } }{ dt } \cfrac { 1 }{ a_c } )$

$v_{ t }\cfrac { d^{ 2 }v_{ t } }{ dx^{ 2 } } =\cfrac { v_t }{ v^2_c }\cfrac { d^{ 2 }v_{ t } }{ dt^{ 2 } } +\cfrac { v_t }{ a_c }\cfrac { dv_{ t } }{ dt }$